Entendemos que los médicos recomiendan que Josh use una mascarilla protectora. ¿La palabra Doctor debería tener un apóstrofe en esta oración?

Sí, la palabra "médico" debería tener un apóstrofe en esta oración.

El apóstrofe se utiliza para indicar que algo pertenece a alguien o a algo más. En este caso, la mascarilla pertenece al médico. Por tanto, la forma correcta de escribir la frase es:

"Entendemos que es recomendación del médico que Josh use una mascarilla protectora".